1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Для расчетов короткопериодных движений грунта используются два

вида стохастических моделей - барьерная модель А. Папагеоргиу и

2

К. Аки и модель омега Т. Хэнкса и Р. Мак-Гуайра (рис. 2.1).

┌─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ┐ ┌───────────────┐ ┌ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ── ┐

│Детерминистическая│ │ Теоретический │ │Параметры сейсмических воздействий

модель очага ┌────────>│ расчет ├────────────────────────────────────────┼>│ ┌───────────────────┐ │

│┌────────────────┐│ │ │"функций Грина"│ │ │ │ _2 │

│Задание в источ-│ │ └───────────────┘ │ │Расчет а , а , │ │

1 ││нике простран- ││ │ /\ /\ │ │ ┌─>│ max ├────┐

│ственного и ├┼────────┘ │ │ │ │ │V , d , T │ │ │

││временного ││ ┌─────┴─────┐ ┌────┴──────┐ │ │ │ │ max max max │ │

│распределения │ │Локальные │ │Передаточ- │ │ │ └───────────────────┘ │ │

││подвижек ││ │грунтово- │ │ные функции│ │ │ │ ┌───────────────────┐ │

└────────────────┘ │геологичес-│ │среды │ ├──┼─>│Расчет длительности├──┐ │ │

└ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─┘ │кие условия│ │ │ │ │ ├─>│ акселерограммы │ │ │

└──────┬────┘ └────┬──────┘ │ │ └───────────────────┘ │ │ │

│ │ ┌─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─┐ │ │ │ ┌───────────────────┐ │ │

│ │ │ Стохастический ├──┼─>│ Расчет спектров │ │ │ │

│ │ подход │ │ │ │ │ реакции SA(t), ├─>│ │

│ │ │┌─────────────────┐ ┌────────────┐ │ ├─>│ SV(t), SD(t) │ │ │ │

┌ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─┐ ┌────────────────┐ │ │ ┌─>│ Метод модельных ││ │Численная ││ │ │ └───────────────────┘ │ │

Стохастическая │ 5 параметров: │ │ │ │ ││ акселерограмм ├┼┐ │модельная │ │ │ ┌───────────────────┐ │ │ │

│ модель очага │ │1. длина; │ │ │ │ │ (Монте-Карло) │││ │акселеро- ││ ├──┼─>│ Расчет спектра │ │ │

┌────────────────┐ │2. ширина; │ │ │ │ │└─────────────────┘ │ │грамма, ├┼─┼─>│ │ мощности PS │<─┘ │ │

││ Барьерная ││ │3. максимальная │ \/ \/ │ ┌─────────────────┐││ │имитирующая ││ │ ├─>│ │ │

│ модель очага ├┼>│ подвижка; │ ┌──────────────┐│ ││Метод, основанный│ └>│реальную при│ │ │ └───────────────────┘ │ │

││А. Папагеоргиу и││ │4. скорость ├>│ Амплитудный ├┼─>│ на теории ││ │тех же ││ │ │ ┌───────────────────┐ │

│ К. Аки │ │ вспарывания; │ │ спектр Фурье ││ ││ случайных ├┼─>│средних │ ├──┼─>│Расчет интенсив- │<───┤ │

│└────────────────┘│ │5. барьерный │ └──────────────┘│ │ процессов ││ │параметрах ││ │ ├─>│ности I │ │

2 │ интервал │ /\ │ │└─────────────────┘ ┌>│очага, среды│ │ │ └───────────────────┘ │ │

│ │ └────────────────┘ │ │ ┌─────────────────┐││ │и грунта ││ │ │ ┌───────────────────┐ │

│ │ ││ Метод случайных │ │ └────────────┘ └──┼─>│Расчет коэффициента│ │ │

│┌────────────────┐│ ┌────────────────┐ │ └─>│ вибраций │││ │ │ │ динамичности │<───┘

│ 2 │ │Модель очагового│ │ ││ ├┼┘ └─>│ бета' │ │

││ Модель омега ││ │ спектра Бруна │ │ └─────────────────┘│ │ └───────────────────┘

│очага Т. Хенкса ├┼>│М ДЕЛЬТА сигма├─────────┘ └─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─┘ └ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ── ┘

││и Р. Мак-Гуайра ││ │ 0' │

└────────────────┘ └────────────────┘

└ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─┘

Барьерная модель описывается пятью основными параметрами:

длиной и шириной площадки (очага), максимальной подвижкой,

скоростью вспарывания и барьерным интервалом. В этой модели

значение высокочастотного края спектра F зависит от размеров

m

источника и других его параметров.

2

В модели омега значение f определяется эффектом затухания

m

2

колебаний в приповерхностных отложениях. В омега -модели

ускорения колебаний моделируются белым шумом в частотном интервале

f - f (где f - угловая частота спектра и форма спектра по

0 m 0

Дж. Бруну). Модель характеризуется величинами момента М ,

0

сброшенного напряжения ДЕЛЬТА сигма и f . С помощью этой модели

m

было получено хорошее соответствие экспериментальных и

_2

теоретических значений а и а в интервале магнитуд 4,0 - 7,7.

max

Д. Бур развил обе расчетные модели и применил метод случайных

колебаний, расширив диапазон магнитуд от 1,0 до 7,0. Использование

2

омега -модели для расчетов колебаний от очагов с М > 7,0

становится некорректным вследствие нарушения подобия, т.е.

заметного увеличения коэффициента формы K = L / W в области

v

больших магнитуд.

Для расчетов колебаний от очагов в виде барьерной модели и

2

омега -модели применяются два метода расчетов - метод Монте-Карло

и метод случайных колебаний.

При использовании обоих методов спектр колебаний R(f)

рассматривается в зависимости от следующих факторов:

R(f) = С S(f) A(f) D(f) I(f), (2.1)

где:

С - масштабный коэффициент;

S - спектр в источнике;

D - затухание;

I - реакция прибора в точке наблюдения;

R F v

ТЭТА,j

С = --------------, (2.2)

4 пи ро v R

0 s0

где:

R - функция направленности;

ТЭТА,j

F - эффект влияния свободной поверхности;

v - часть энергии, приходящейся на горизонтальные колебания;

ро и v - плотность и скорость распространения поперечных

0 s0

волн в очаговой области;

R - геометрическое расхождение волн.

_

Обычно принимается F = 2 и v = 1 / \/2. На расстояниях до

100 км для объемных волн R = r (r - гипоцентральное расстояние).

Для расстояний больше 100 км, где могут доминировать волны L ,

g

_

R ~= \/r.

Для барьерной модели выражение для очагового спектра S(f)

[26]:

2 1/2

sin (пи f T)

S(f) = {N [1 + (N - 1) ---------------]} S (f) P(f, f ), (2.3)

2 0i max

(пи f T)

где:

S (f) - спектр индивидуального субисточника (круговая

0i

трещина);

N - общее число субисточников;

Т - продолжительность вспарывания всего разлома,

┌─ ─┐-1/2

│ 2S│

P(f, f ) = │1 + (f / f ) │ ,

max │ max │

└─ ─┘

2

S (f) = f M , (2.4)

0i 0i

где M - сейсмический момент субисточника.

0i

2

Для омега -модели:

2

S(f) = M / [1 + (f / f ) ],

0 0

6 1/3

f = 4,9 х 10 v (ДЕЛЬТА сигма / М ) , (2.5)

0 s0 0

ДЕЛЬТА сигма - в барах, f - в Гц, v - в км/с и М -

0 s0 0

в дин. см.

Учитывая нарушение принципа подобия для больших землетрясений,

необходимо использовать следующие соотношения для спектра

источника [27]:

1/2

S(f) = M / (1 + i f / f ) , f <= f

0 B А

3/2 1/2

S(f) = M (f / f) / (1 + i f /f ) , f >= f , (2.6)

0 a R А

где:

6 1/4 1/3

f = 4,9 х 10 V K (ДЕЛЬТА сигма / М ) , <= М ,

A sо 0 0с

6 3/4 1/3

f = 4,9 х 10 V K (ДЕЛЬТА сигма / М ) ;

В sо 0

6 1/4 1/3 -1/2

f = 4,9 х 10 V K ДЕЛЬТА сигма М М , М >= М ,

A sо 0с 0 0 0с

6 3/4 1/3

f = 4,9 х 10 V K (ДЕЛЬТА сигма / М ) . (2.7)

В sо 0

Здесь М - критическая величина момента, начиная с которой

0с

нарушается подобие. Следует отметить, что в области сохранения

подобия для калифорнийских землетрясений K принималось равным 4.

_________________

\/ро v / ро v ,

0 s0 i si

где индекс 0 - относится к области очага, i - точки

наблюдения.

Фактор D(f) затухания с расстоянием записывается в виде:

D(f) = exp[-пи f r / Q(f) V] P(f), (2.8)

где: Q - частотно зависимый фактор затухания в среде, разный

для разных регионов; P(f) - высокочастотный срез фильтра ;

P(f) = exp(-пи K f). (2.9)

0

Наконец, фильтр I(f) зависит от условий регистрации. Для

стандартных акселерографов выражение для I(f):

2

v f

I(f) = --------------------------, (2.10)

2 2

(f - f ) - i (2 кси f f )

r r

2

где f = 25 Гц, кси = 0,6, V = (2 пи f ) .

r r

После определения спектра R(f) производится следующая

процедура расчетов. Генератором случайных чисел (метод Монте-

Карло) генерируется гауссовский белый шум со спектром R(f),

фильтрованным через фильтр коробчатой формы с длительностью

2

T = 1 / f + 0,05 для модели омега или 1 / f + 0,05r для

W о А

модифицированной модели [28]. Здесь r - расстояние от очага.

Далее производится обратное преобразование Фурье во временную

область и получаются временные функции a(t), из которых

_2

оцениваются величины а и а . Не менее 20 генерированных

max

(расчетных) сигналов необходимы для хорошей оценки а . Средний

max

по массиву реализаций спектр лежит близко к исходному расчетному

спектру.

В методе случайных вибраций не требуется использование

генерации случайных процессов. Спектр R(f) величины y (ускорение,

скорость, смещение) определяется в соответствии с принципом,

описанным выражением (2.1).

Нулевой, второй и четвертый моменты m , m , m энергетической

0 2 4

спектральной плотности рассчитываются по формуле:

1 омега k 1/2

m = -- интеграл омега / R(f) dомега, (2.11)

k пи 0

где омега = 2 пи f.

_2

Среднеквадратичная величина y определяется соотношением:

_2 1/2

y = (m / T ) , (2.12)

0 r

где Т (длительность колебаний) = Т .

r омега

Для определения величины спектра реакции используется

соотношение:

T 3

0 v

T = T + -------- (--------), (2.13)

r омега 2 пи кси v + 1/3

3

где Т и кси - период собственных колебаний и затухание

0

осциллятора гамма = Т / Т .

омега 0

Математическое ожидание Е(y ) величины y рассчитывается

max max

с использованием точных либо асимптотических формул, зависящих от

параметра эпсилон и числа экстремумов N, где:

1/2

эпсилон = m / (m m )

2 0 4

i+1 N

__ (-1) C

_2 /пи N i i

E(y ) = y \/--- SUM ---------- эпсилон , (2.14)

max 2 i=1 _

\/l

N

где С - биноминальный коэффициент, равный N! / l! (N - l).

i

Выражение (2.14) используется для малых N < 14,7,

i

эпсилон - 8.

Для больших значений N предлагается не точное, а

асимптотическое решение:

2 1/2 1/2

E(y ) = y {[2 ln(N)] + гамма [2 ln(N)] }, (2.15)

max

где в качестве гамма рекомендуется константа Эйлера, равная

0,557216.

После получения спектра реакции с помощью метода случайных

колебаний задаются стационарные временные реализации с заданным

_2

спектром и величиной y и y .

max

Источники начинают срабатывать с задержкой по мере удаления от

гипоцентра. На низких частотах излучение субисточников когерентно

с уровнем спектра, пропорциональным произведению v эта.

Высокочастотное излучение не когерентно, и уровень спектра

___

пропорционален v \/эта. В рамках модели Хэнкса и Мак-Гуайра и

представления подобия спектров по К. Аки и Дж. Брюну спектр

смещений на высоких частотах изменяется по закону f .

-альфа

Тогда:

┌ ┐2альфа/дельта ┌ ┐1-2альфа/дельта

│М │ │М │

│ 0 │ │ 0 │

эта = │---│ ; v = │---│ , (2.16)

│М │ │М │

│ 0е│ │ 0е│

└ ┘ └ ┘

2

где М - момент очага; М - момент субисточника. Для омега -

0 0е

модели альфа = 2 и дельта = 3 [3].

Колебания рассчитываются как "функции Грина" и суммируются в

точке наблюдения. Операции расчета "функции Грина" описаны в

фундаментальной работе К. Аки и П. Ричардса [26]. Авторы метода

постулировали некоторые случайные распределения субисточников по

поверхности площадки разрыва в соответствии с предлагаемой

геометрией разрыва. Распределение субисточников должно быть

связано с предполагаемой неоднородностью очага, и, естественно,

результат зависит от адекватности теоретического распределения

реальному распределению неоднородностей. Так, при задании

распределения субисточников можно принимать во внимание результаты

изучения распределения участков разрывов по их длине и величину

подвижки принимать пропорциональной длине субразрыва. Однако

следует иметь в виду, что в каждом конкретном случае распределение

параметров может отличаться от среднего или характерного по многим

случаям. Так, результаты теоретических и экспериментальных

исследований позволяют сделать вывод о тяготении максимальной

подвижки D к центру источника и о спаде значений D до нуля на

max

краях разрывов. Однако в отдельных конкретных случаях отклонение

от этой тенденции может быть довольно значительным, так как

определяется пространственными различиями прочностных свойств

горных пород.