Обоснование и общий вид формул для коэффициентов распределения

При "непрерывной" трактовке значение нормы дисконта, равное E,

означает, что участник считает эквивалентными получение

0

единовременного (в момент приведения t = t ) дохода K рублей и

непрерывного равномерного получения доходов с интенсивностью EK

рублей в год в течение неограниченного периода, начиная с момента

0

t . Соответственно проект, предусматривающий единовременные

инвестиции K и последующее равномерное непрерывное получение

доходов с интенсивностью EK рублей в год, рассматривается как

лежащий на границе между эффективными и неэффективными. Такая

трактовка используется в расчетах "в непрерывном времени", в том

числе при аналитической оценке эффективности ИП на основе

математического моделирования непрерывных денежных потоков. В этом

случае коэффициент дисконтирования (приведения к моменту времени

0

t ) затрат, результатов и эффектов, осуществляемых в малом

интервале времени (t, t + dt), рассчитывается по формуле

0

-E(t - t )

АЛЬФА = e . (П6.3)

t

Дисконтирование затрат (и аналогично - результатов или

эффектов), распределенных в некотором конечном (а не бесконечно

малом) интервале времени (s, s + ДЕЛЬТА), осуществляется при этом

следующим способом. Пусть F(t) - исчисленная накопленным итогом

сумма затрат, осуществляемых от начала интервала (момента s) до

момента t, а F(ДЕЛЬТА) - полная сумма этих затрат. Тогда

дисконтированная сумма затрат F , осуществляемых на всем

инт

рассматриваемом интервале, составит

0

s + ДЕЛЬТА E (t - t)

F = ИНТЕГРАЛ e dF(t). При использовании второго

инт s

способа дисконтирования это выражение можно представить в виде:

F = F(ДЕЛЬТА) x АЛЬФА x ГАММА,

инт

0

-E(s + ДЕЛЬТА - t )

где АЛЬФА = e - коэффициент

дисконтирования, относящийся к концу интервала,

ГАММА - коэффициент распределения, рассчитываемый по формуле:

s + ДЕЛЬТА E(s + ДЕЛЬТА - t) dF(t)

ГАММА = ИНТЕГРАЛ e ---------- =

s F(ДЕЛЬТА)

s + ДЕЛЬТА E(s + ДЕЛЬТА - t)

= 1 + E ИНТЕГРАЛ q(t) x e dt, (П6.4)

s

F(t)

где q(t) = ---------- - доля общих затрат за интервал,

F(ДЕЛЬТА)

осуществленных до момента t.

В частности:

- если затраты, результаты или эффекты достигаются в момент t

= s (в начале интервала), расчетная формула (П6.3) для

коэффициента распределения принимает вид

E ДЕЛЬТА

ГАММА = e ; (П6.5)

- если затраты, результаты или эффекты достигаются при t = s +

ДЕЛЬТА (в конце интервала), коэффициент распределения (П.6.3)

оказывается равным единице:

ГАММА = 1; (П6.6)

- если затраты, результаты или эффекты осуществляются

равномерно на интервале (s; s + ДЕЛЬТА), расчетная формула (П6.3)

для коэффициента распределения принимает вид

E ДЕЛЬТА

e - 1

ГАММА = --------------. (П6.7)

E x ДЕЛЬТА

Аналогично могут быть получены формулы для ГАММА при первом

способе учета внутришаговых распределений денежных потоков.

При "дискретной" трактовке, принятой в настоящих

Рекомендациях, значение нормы дисконта, равное E, означает, что

участник считает эквивалентными получение единовременного (в

0

момент t ) дохода K рублей и равномерного получения доходов EK

0 0

рублей ежегодно, в конце каждого года, т.е. в моменты t + 1, t +

2... Соответственно проект, предусматривающий единовременные

инвестиции K рублей и последующее получение доходов EK рублей

ежегодно, рассматривается как лежащий на границе между

эффективными и неэффективными.

Расчетные формулы для коэффициента равномерности в этом случае

отличаются от (П6.5) - (П6.7) заменой E на ln(1 + E).

Для разных распределений затрат, результатов или эффектов по

m-му шагу при этом получаются формулы для ГАММА , приведенные в

m

табл. П6.1 и П6.2.