Основные научные задачи и ожидаемые прорывные результаты на 2021 - 2030 годы

К основным научным задачам развития математических наук, решение которых откроет принципиально новые возможности для получения ожидаемых прорывных научных результатов, относятся следующие.

В области математической логики выделяется теория множеств, теория моделей, теория алгоритмов (в том числе одна из семи проблем третьего тысячелетия) и вычислительной сложности, а также теория доказательств. Актуальным является новое направление - гомотопическая теория типов и структурная теория доказательств, тесно связанная с теорией вычислимости и функциональными языками программирования, которая найдет применение в биологии и физике, в том числе в квантовых вычислениях и ДНК-вычислениях. Перспективным приложением логики к информатике является модальная логика.

Теория баз данных представит значительную область приложений существующих методов математической логики.

Основными научными задачами математических наук в области теории чисел, направленными на развитие криптографии и теории кодирования, являются теория диофантовых уравнений, а также аналитическая и алгебраическая теория чисел.

Развитие алгебры остается важнейшей научной задачей современной математики. Среди основных разделов алгебры следует отметить теорию групп, теорию колец и алгебр, теорию категорий и гомологическую алгебру, а также вычислительную алгебру. Самостоятельную область представляет теория групп и алгебр Ли, а также их представлений и инвариантов. Понятия и методы этой теории возникают при описании сильных и слабых взаимодействий, в стандартной модели физики элементарных частиц, в квантовой механике и теории поля, теории струн, в общей теории относительности. Перспективу применения в различных областях математики и физики имеют методы алгебраической геометрии.

Важнейшими задачами современной геометрии являются дифференциальная геометрия, риманова, метрическая и симплектическая геометрии, отдельно выделяется топология и теория узлов. Все эти области находят различные применения в физике.

Математический анализ охватывает разделы дифференциального и интегрального исчислений, теории функций и функциональный анализ, анализ на многообразиях. Современной задачей в разделе математического анализа является теория приближений, вызванная потребностями биологии, медицины и техники, проблемами обработки и хранения больших массивов данных. Методы функционального анализа и выпуклой геометрии будут востребованными в прикладных задачах оптимизации различных поисковых и обучающих процессов, связанных с информационно-телекоммуникационной сетью "Интернет". Востребованы перспективные приложения бесконечномерного анализа к вопросам экономики, задачам оптимального распределения ресурсов и управления транспортными потоками.

Дифференциальные уравнения необходимы в моделировании всех физических, технических или биологических процессов от небесных движений до проектирования мостов и взаимодействия между нейронами. Центральной проблемой данной области остается задача глобального существования гладких решений трехмерной системы Навье - Стокса, которая описывает движение вязкой ньютоновской жидкости и является основой гидродинамики. Она также является одной из семи проблем тысячелетия.

Важнейшими в математической физике являются задачи теоретической механики, динамики жидкости, газа и плазмы (в том числе гиперзвуковые течения), а также математические задачи теории упругости и электродинамики.

Фундаментальным направлением является динамика классических и квантовых сложных систем. Центральные проблемы в этой области связаны с построением и исследованием решений уравнений Ньютона или Шредингера для системы многих частиц, развитием теории геометрического квантования классических фазовых многообразий и динамических систем, исследованием свойств квантово-полевых моделей, а также задачами теории гравитации. Перспективным направлением является развитие математических методов, ориентированных на создание квантовых технологий. Математические методы квантовых технологий представляют высокий теоретический и прикладной интерес. Важным направлением является развитие теории Янга - Миллса.

Актуальными научными задачами вычислительной математики являются обратные и некорректно поставленные задачи, развитие методов тензорных и разреженных аппроксимаций, методов статистического моделирования и анализа данных, методов оптимизации и управления, численных методов и гибридных технологий для широкого круга задач математического моделирования, где необходимо решать дифференциальные, интегральные, функциональные и другие уравнения. К новым задачам и развитию данного направления относятся применение алгоритмов на высокопроизводительных вычислительных системах, внедрение современных методов анализа данных, методов машинного обучения и искусственного интеллекта.

Перспективным в развитии математического моделирования является моделирование сложных явлений и процессов в физике, химии, биологии (в том числе в физике элементарных частиц, физике плазмы, квантовой химии, при прямом расчете турбулентных течений, процессов горения, молекулярной динамики). Применение математического моделирования актуально в медицине и сельском хозяйстве, при изучении экономических и социальных процессов, задач государственного и корпоративного управления, разработке новых промышленных технологий, в аэрокосмической индустрии, энергетике (в том числе атомной, а также при добыче и разведке природных ресурсов), робототехники. К сверхактуальным задачам математического моделирования относится изучение среды обитания, включая районы Крайнего Севера, моделирование атмосферы и океана, изучение климата.

Применение высокопроизводительных вычислений окажет большое влияние на развитие фундаментальных наук (физики, химии, биологии, медицины и др.), аэрокосмической индустрии, энергетики, промышленности и многих других сфер деятельности. Создание вычислительных алгоритмов и прикладного математического обеспечения, позволяющего эффективно использовать вычислительные системы с производительностью выше 10 экзафлопс, - основная задача этого направления. Вычислительные системы субэкзафлопсной производительности найдут применение в области предсказательного моделирования во всех сферах хозяйственной деятельности.

Важнейшими задачами теоретической информатики и дискретной математики являются исследования в области искусственного интеллекта, а также создание и внедрение новых методов и алгоритмов для обработки и анализа больших данных. К перспективным направлениям относятся анализ временных рядов, сигналов, изображений и видеоданных, а также текстов и символьных последовательностей. Актуальными остаются исследования в области дискретного анализа, комбинаторики, теории графов, дискретной оптимизации, теории сложности кодирования, сжатия, защиты и передачи информации.

Задачами мирового уровня в области системного программирования являются создание и развитие методов и соответствующих технологий для разработки, сопровождения и анализа программ и информационно-коммуникационных систем, а также совершенствование существующих и создание новых видов системного и инфраструктурного программного обеспечения. Возникающие новые виды приложений (облачные среды, искусственный интеллект, интернет вещей и др.), существенное усложнение аппаратуры предъявляют возрастающие требования к системному программному обеспечению.

В ближайшие десятилетия в связи с переходом к цифровой экономике ставятся задачи в области информационно-вычислительных систем и сред. Необходимо развитие математических методов для эффективного управления распределенными вычислительными средами на основе технологий распределенного реестра (блокчейн и смарт-контрактов).