|
|
Формулировка
|
Перевод
|
Предметная область и формулировка ФГОС
|
|
Определение математической грамотности
|
Mathematical literacy is an individual's capacity to formulate, employ and interpret mathematics in a variety of contexts. It includes reasoning mathematically and using mathematical concepts, procedures, facts and tools to describe, explain and predict phenomena. It assists individuals to recognise the role that mathematics plays in the world and to make the well-founded judgements and decisions needed by constructive, engaged and reflective citizens.
|
Математическая грамотность - это способность человека формулировать, применять и интерпретировать математические явления в различных контекстах. Она включает в себя способность к математической аргументации, применение математических концептов, операций, фактов и инструментов для описания, объяснения и предсказания явлений. Она способствует пониманию роли, которую математика играет в современном мире, а также ее роли в процессе вынесения взвешенных суждений и решений, необходимых для конструктивной, вовлеченной и осознанной жизни в обществе.
|
Предметные результаты освоения основной образовательной программы основного общего образования с учетом общих требований Стандарта и специфики содержания предметных областей, включающих конкретные учебные предметы, ориентированы на применение знаний, умений и навыков обучающимися в учебных ситуациях и в реальных жизненных условиях, а также на успешное обучение на следующем уровне общего образования
|
|
Структура и содержание проверяемой области
|
For purposes of the assessment, the PISA definition of mathematical literacy can be analysed in terms of three interrelated aspects:
- the mathematical processes that describe what individuals do to connect the context of the problem with mathematics and thus solve the problem, and the capabilities that underlie those processes;
- the mathematical content that is targeted for use in the assessment items
- the contexts in which the assessment items are located.
|
Определение математической грамотности в исследовании PISA рассматривается с точки зрения трех взаимосвязанных аспектов:
1) математический процесс, описывающий действия, которые необходимо предпринять, чтобы перевести контекст задачи в математическую плоскость и затем решить ее;
2) предметное содержание, на которое нацелена данная задача;
3) контексты задач оценочных материалов.
|
В соответствующих пунктах:
умение свободно оперировать понятиями (распознавать конкретные примеры общих понятий по характерным признакам, выполнять действия в соответствии с определением и простейшими свойствами понятий, конкретизировать общие понятия примерами, использовать понятие и его свойства при решении задач);
умение применять;
умение распознавать и приводить примеры контрпримеры;
умение доказывать несложные теоремы.
|
|
1. Математический процесс
|
Formulating situations mathematically:
|
Формулирование задачи на математическом языке:
- определение математических аспектов практической задачи реального мира, определение ее существенных параметров;
- определение математической структуры (в том числе закономерностей, отношений и моделей) при решении задач;
- упрощение задачи с целью ее последующего математического анализа;
- определение ограничений и допущений построения математической модели, исходя из контекста задачи;
- математическое представление ситуации с использованием подходящих параметров, обозначений, графиков и стандартных моделей;
- переформулирование задачи в соответствии с математическими понятиями и определение целесообразных допущений;
- понимание и объяснение взаимосвязи между формулировкой и контекстом задачи и символьным языком, требуемым для представления задачи в математическом виде;
- перевод задачи на математический язык или в математическую модель;
- распознание аспектов задачи, которые соотносятся со знакомыми задачами или математическими понятиями, фактической информацией или операциями;
- использование технологий (например, электронных таблиц, функций графического калькулятора) для передачи сути математической проблемы, заданной в контексте задачи.
|
Решать арифметическим и алгебраическим способами несложные текстовые задачи разных типов (в том числе на проценты, доли и части, движение, работу, стоимость);
иметь представление о роли закона больших чисел в массовых явлениях;
использовать свойства геометрических фигур для решения задач, возникающих в ситуациях повседневной жизни; иметь представление о пространственных фигурах: прямоугольный параллелепипед, куб, пирамида, призма, цилиндр, конус, сфера, шар;
умение распознавать равенство, симметрию и подобие фигур, параллельность и перпендикулярность прямых в окружающем мире, использовать геометрические отношения для решения простейших задач, возникающих в реальной жизни;
распознавать прогрессии и решать задачи математики, других учебных предметов и реальной жизни на прогрессии с применением формул n-го члена и суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий;
при решении задач из других учебных предметов, из реальной жизни; использовать координатную прямую и координатную плоскость для изображения решений уравнений с одной или двумя переменными, неравенств с одной или двумя переменными и их систем;
использовать векторы и скалярное произведение векторов для решения простейших задач из математики, из других учебных предметов и из реальной жизни;
использовать графическое представление множеств для описания реальных процессов и явлений, при решении задач из других учебных предметов; умение оперировать понятиями: определение, аксиома, теорема, доказательство;
составлять числовые и буквенные выражения, формулы по условиям задач;
|
|
- identifying the mathematical aspects of a problem situated in a real-world context and identifying the significant variables;
- recognising mathematical structure (including regularities, relationships and patterns) in problems or situations;
- simplifying a situation or problem in order to make it amenable to mathematical analysis;
- identifying constraints and assumptions behind any mathematical modelling and simplifications gleaned from the context;
- representing a situation mathematically, using appropriate variables, symbols, diagrams and standard models;
- representing a problem in a different way, including organising it according to mathematical concepts and making
appropriate assumptions;
- understanding and explaining the relationships between the context-specific language of a problem and the symbolic and formal language needed to represent it mathematically;
- translating a problem into mathematical language or a representation;
- recognising aspects of a problem that correspond with known problems or mathematical concepts, facts or procedures;
- using technology (such as a spreadsheet or the list facility on a graphing calculator) to portray a mathematical relationship inherent in a contextualised problem
|
|
|
Employing mathematical concepts, facts, procedures and reasoning:
|
Применение математических понятий, фактов, действий и аргументации:
|
Сформированность умения выбирать подходящий изученный метод для решения задачи;
использовать свойства функций и их графики при решении задач из других учебных предметов и из реальной жизни; составлять формулы, выражающие зависимости между реальными величинами; применять несложные формулы в простейших ситуациях повседневной жизни
извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию, представленную в таблицах и на диаграммах, отражающую свойства и характеристики реальных процессов и явлений;
решать простейшие комбинаторные задачи методом прямого и организованного перебора, с использованием правила умножения;
умение строить графики линейной, квадратичной функций, обратной пропорциональности, использовать графики реальных процессов
|
|
- devising and implementing strategies for finding mathematical solutions;
- using mathematical tools, including technology, to help find exact or approximate solutions;
- applying mathematical facts, rules, algorithms and structures when finding solutions;
- manipulating numbers, graphical and statistical data and information, algebraic expressions and equations, and geometric representations;
- making mathematical diagrams, graphs and constructions, and extracting mathematical information from them;
- using and switching between different representations in the process of finding solutions;
- making generalisations based on the results of applying mathematical procedures to find solutions;
- reflecting on mathematical arguments and explaining and justifying mathematical results.
|
- разработка и применение стратегий для нахождения математического решения;
- использование математического аппарата, включая технологии, для нахождения точного или приблизительного решения;
- применение математических фактов, правил, алгоритмов и структур в процессе решения;
- использование цифровой, графической информации и данных статистики, алгебраических выражений и равенств, геометрических представлений;
- построение графиков, диаграмм, получение математической информации из них;
- использование различных представлений информации в процессе решения задачи;
- построение обобщений на основе результатов применения математических процедур в процессе решения задачи;
- итоговый анализ математических доказательств, объяснение и подтверждение полученных результатов.
|
|
|
Interpreting, applying and evaluating mathematical outcomes:
|
Интерпретация, применение и оценка математических результатов:
|
Исследовать полученное решение, интерпретировать и оценивать правдоподобность полученных результатов
|
|
- interpreting a mathematical result back into the real-world context;
- evaluating the reasonableness of a mathematical solution in the context of a real-world problem;
- understanding how the real world impacts the outcomes and calculations of a mathematical procedure or model in order to make contextual judgements about how the results should be adjusted or applied;
- explaining why a mathematical result or conclusion does, or does not, make sense given the context of a problem;
- understanding the extent and limits of mathematical concepts and mathematical solutions;
- critiquing and identifying the limits of the model used to solve a problem
|
- обратная интерпретация математических результатов решения задачи в практический контекст;
- оценка рациональности математического решения в контексте практики реального мира;
- понимание того, как реальный мир влияет на результаты подсчетов или математическую модель для того, чтобы сделать выводы о том, как данные результаты могут быть скорректированы или воплощены в жизнь;
- объяснение, почему математический результат или подсчет имеет либо не имеет смысл с учетом контекста задачи;
- понимание ограничений математических понятий и решений;
- критический анализ модели, использованной для решения задачи, и определение ее ограничений.
|
|
2) Предметное содержание
|
Change and relationships
Space and shape
Quantity
Uncertainty and data
|
Преобразования и функции
Пространство и форма
Количество
Неопределенность и данные
|
Сформированность умения оперировать понятиями: функция, график функции, аргумент и значение функции, область определения, множество значений, нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания, убывания, наибольшее и наименьшее значения функции, прямая пропорциональность, линейная функция, квадратичная функция, обратная пропорциональность, парабола, гипербола; умение строить графики названных функций; использовать графики реальных процессов и зависимостей для определения их свойств (наибольшие и наименьшие значения, промежутки возрастания, убывания, области положительных, отрицательных значений).
Сформированность умения оперировать понятиями: степень с целым показателем, арифметический квадратный корень; многочлен; алгебраическая дробь; тождество; иметь представление о корне степени n; выполнять расчеты по формулам; умение выполнять несложные преобразования (раскрывать скобки, выносить общий множитель за скобку, приводить подобные слагаемые, использовать формулы сокращенного умножения): целых выражений; дробно-рациональных выражений и выражений с квадратными корнями.
|
|
- Functions: the concept of function, emphasising but not limited to linear functions, their properties, and a variety of descriptions and representations of them. Commonly used representations are verbal, symbolic, tabular and graphical.
- Algebraic expressions: verbal interpretation of and manipulation with algebraic expressions, involving numbers, symbols, arithmetic operations, powers and simple roots.
- Equations and inequalities: linear and related equations and inequalities, simple second-degree equations, and analytic and non-analytic solution methods.
- Co-ordinate systems: representation and description of data, position and relationships.
- Relationships within and among geometrical objects in two and three dimensions: static relationships such as algebraic connections among elements of figures (e.g. the Pythagorean theorem as defining the relationship between the lengths of the sides of a right triangle), relative position, similarity and congruence, and dynamic relationships involving transformation and motion of objects, as well as correspondences between two- and three-dimensional objects.
- Measurement: quantification of features of and among shapes and objects, such as angle measures, distance, length, perimeter, circumference, area and volume.
- Numbers and units: concepts, representations of numbers and number systems, including properties of integer and rational numbers, relevant aspects of irrational numbers, as well as quantities and units referring to phenomena such as time, money, weight, temperature, distance, area and volume, and derived quantities and their numerical description.
- Arithmetic operations: the nature and properties of these operations and related notational conventions.
- Percents, ratios and proportions: numerical description of relative magnitude and the application of proportions and proportional reasoning to solve problems.
- Counting principles: simple combinations and permutations.
- Estimation: purpose-driven approximation of quantities and numerical expressions, including significant digits and rounding.
- Data collection, representation and interpretation: nature, genesis and collection of various types of data, and the different ways to represent and interpret them.
- Data variability and its description: concepts such as variability, distribution and central tendency of data sets, and ways to describe and interpret these in quantitative terms.
- Samples and sampling: concepts of sampling and sampling from data populations, including simple inferences based on properties of samples.
- Chance and probability: notion of random events, random variation and its representation, chance and frequency of events, and basic aspects of the concept of probability.
|
- Функции: понятие функции, обозначающее, но не ограниченное линейными функциями, их свойствами, а также различные описания и представления функций. Как правило, используемые представления являются словесными, символическими, табличными и графическими.
- Алгебраические выражения: словесная интерпретация и оперирование алгебраическими выражениями, включающими числа, символы, арифметические операции, степени и простые корни.
- Уравнения и неравенства: линейные и связанные уравнения и неравенства, простые уравнения второй степени, аналитические и неаналитические методы решения.
- Системы координат: представление и описание данных, положения и отношений.
- Отношения внутри геометрических объектов и между ними в двух и трех измерениях: статические отношения, такие как алгебраические связи между элементами фигур (например, теорема Пифагора, определяющая соотношение между длиной сторон прямоугольного треугольника), относительное положение, сходство и соответствие, динамические отношения, включающие трансформацию и движение объектов, а также соответствия между двух- и трехмерными объектами.
- Измерение: количественная оценка характеристик форм и объектов, таких как угловые измерения, расстояние, длина, периметр, окружность, площадь и объем.
- Числа и величины: понятия, представления чисел и систем счисления, включая свойства целых и рациональных чисел, соответствующие аспекты иррациональных чисел, а также количества и величины, относящиеся к таким явлениям, как время, деньги, вес, температура, расстояние, площадь, объем, производные величины и их числовое описание.
- Арифметические операции: природа и свойства этих операций и связанные с ними условные обозначения.
- Проценты, соотношения и пропорции: числовое описание относительной величины, применение дробей и пропорциональных рассуждений для решения проблем.
- Принципы счета: простые комбинации и перестановки.
- Оценка: целевая аппроксимация величин и числовых выражений, включая значащие цифры и округление.
- Сбор, представление и интерпретация данных: природа, происхождение и сбор различных типов данных, а также различные способы их представления и интерпретации.
- Изменчивость данных и ее описание: такие понятия, как переменные, распределение и среднее значение массивов данных, а также способы их описания и интерпретации в количественном выражении.
- Образцы и выборка: понятие выборки и выборка из совокупности данных, включая простые выводы, основанные на свойствах выборок.
- Случайность и вероятность: понятие случайных событий, случайное изменение и его представление, случайность и частота событий, а также основные аспекты теории вероятности.
|
|
Сформированность умения оперировать понятиями: числовое равенство, уравнение с одной переменной, корень уравнения; умение оперировать понятиями: числовое неравенство, неравенство с переменной, решение неравенства; умение решать линейные и квадратные уравнения с одной переменной, простейшие дробно-рациональные уравнения с одной переменной, системы двух линейных уравнений и несложные нелинейные системы; линейные и простейшие квадратные и дробно-рациональные неравенства с одной переменной и их системы; составлять и решать уравнения, несложные неравенства, их системы при решении математических задач.
Умение оперировать понятиями: прямоугольная система координат; координаты точки, абсцисса, ордината; начало координат, координатные оси (абсцисс, ординат); использовать координатную плоскость для представления данных и решения простейших задач из математики, из других учебных предметов и из реальной жизни.
|
|
Сформированность умения оперировать понятиями: фигура, точка, отрезок, прямая, луч, ломаная, угол; многоугольник, треугольник, четырехугольник, параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат, трапеция; окружность, круг; решать задачи с применением простейших свойств фигур, задачи на нахождение геометрических величин; применять для решения задач геометрические факты.
Сформированность умения оперировать понятиями: равенство фигур, равенство треугольников; параллельность прямых, перпендикулярность прямых, углы между прямыми, перпендикуляр, наклонная, проекция; подобие фигур, подобные треугольники; симметрия относительно точки, симметрия относительно прямой.
Применять теорему Пифагора, теорему косинусов, теорему синусов, базовые тригонометрические соотношения для вычисления длин, расстояний, площадей в простейших случаях.
|
|
Сформированность умения выполнять простейшие построения, измерения и вычисления длин, расстояний, углов, площадей; оценивать размеры объектов окружающего мира; выполнять измерение длин, величин углов с помощью инструментов; применять формулы периметра и площади многоугольников, длины окружности и площади круга, объема прямоугольного параллелепипеда, площади поверхности отдельных многогранников при вычислениях.
|
|
Сформированность умения оперировать понятиями: натуральное число, простое и составное число, делимость чисел, целое число, модуль числа, обыкновенная дробь, десятичная дробь; стандартный вид числа; рациональное число, иррациональное число, арифметический квадратный корень; выполнять действия с рациональными и иррациональными числами; сравнивать числа, упорядочивать числа; представлять числа на координатной прямой; округлять числа; делать прикидку и оценку результата вычислений; умение оперировать понятиями: множество натуральных, множество целых, множество рациональных, множество действительных чисел.
Пользоваться статистическими характеристиками для описания наборов значений изменчивых величин:
среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах числового набора.
|
|
Сформированность умения оперировать понятиями: случайный опыт, случайное событие, вероятность события; находить вероятности случайных событий в опытах с равновозможными элементарными событиями; видеть в окружающем мире изменчивые величины и понимать значение случайной изменчивости; оценивать вероятности реальных событий и явлений в несложных ситуациях; понимать роль практически достоверных и маловероятных событий в окружающем мире и в жизни; иметь представление о независимости событий; оценивать вероятности реальных событий и явлений в несложных ситуациях; иметь представление о случайных величинах.
|
|
3) Контексты задач
|
- Personal
- Problems classified in the personal context category focus on activities of one's self, one's family or one's peer group. The kinds of contexts that may be considered personal include (but are not limited to) those involving food preparation, shopping, games, personal health, personal transportation, sports, travel, personal scheduling and personal finance.
- Occupational
- Problems classified in the occupational context category are centred on the world of work. Items categorised as occupational may involve (but are not limited to) such things as measuring, costing and ordering materials for building, payroll/accounting, quality control, scheduling/inventory, design/architecture and job-related decision making. Occupational contexts may relate to any level of the workforce, from unskilled work to the highest levels of professional work, although items in the PISA survey must be accessible to 15-year-old students.
- Societal - Problems classified in the societal context category focus on one's community (whether local, national or global). They may involve (but are not limited to) such things as voting systems, public transport, government, public policies, demographics, advertising, national statistics and economics. Although individuals are involved in all of these things in a personal way, in the societal context category the focus of problems is on the community perspective.
- Scientific - Problems classified in the scientific category relate to the application of mathematics to the natural world and issues and topics related to science and technology. Particular contexts might include (but are not limited to) such areas as weather or climate, ecology, medicine, space science, genetics, measurement and the world of mathematics itself. Items that are intramathematical, where all the elements involved belong in the world of mathematics, fall within the scientific context
|
- Индивидуальный
- Задачи, отнесенные к категории индивидуального контекста, фокусирующиеся на деятельности отдельного человека, его семьи или группы сверстников. Контексты, которые могут считаться индивидуальными, включают (но не ограничиваются) следующие виды деятельности: приготовление пищи, покупки, игры, здоровье, личный транспорт, спорт, путешествия, расписание дня и личные финансы.
- Профессиональный
- Задачи, отнесенные к категории профессионального контекста, сосредоточены на сфере труда. Элементы, отнесенные к категории профессиональных, могут включать (но не ограничиваются ими) такие понятия, как измерение, расчет и заказ материалов для строительства, начисление заработной платы/бухгалтерский учет, контроль качества, планирование/учет, дизайн/архитектура и принятие решений, связанных с работой. Профессиональный контекст может относиться к любому уровню рабочей силы, от неквалифицированной до профессионалов высочайшего уровня, но задания в исследовании PISA должны быть доступны для 15-летних учащихся.
- Социальные
- Задачи, классифицируемые как социальные, фокусируются на сообществе (местном, национальном или глобальном). Они могут включать (но не ограничиваются ими) такие понятия, как системы голосования, общественный транспорт, правительство, государственная политика, демография, реклама, национальная статистика и экономика. Хотя участие в этих видах деятельности строго индивидуально, в категории социального контекста проблемы сосредоточены на общественных интересах.
- Научные
- Задачи, входящие в научную категорию, относятся к применению математики в мире природы, а также к проблемам и темам, связанным с наукой и техникой. Конкретные контексты могут включать (но не ограничиваются ими) такие области, как погода или климат, экология, медицина, космическая наука, генетика, измерения и сам мир математики. Предметы, которые являются внутриматематическими, где все вовлеченные элементы принадлежат миру математики, попадают под научный контекст.
|
Приводить примеры математических закономерностей в окружающей действительности и произведениях искусства; описывать отдельные выдающиеся результаты, полученные в ходе развития математики как науки; знать примеры математических открытий и их авторов в связи с отечественной и всемирной историей.
|