Пример 3. Расчет траекторий лучей

Для расчета траекторий лучей воспользуемся системой уравнений:

где

k - градиент скорости волны;

- угол между вектором градиента скорости волны и направлением распространения волны по лучу;

V - скорость распространения волны;

S - путь волны по лучу;

t - время пробега волны.

Для градиентного слоя, в котором градиент скорости волны постоянен по величине и направлению и направлен вдоль оси x система уравнений (8) приобретает вид:

где , V₀, x₀, y₀ - значения соответствующих величин в начальной точке траектории луча в данном слое.

При этом градиент определяется как производная скорости распространения волны по оси x:

где

V_n, V_k - скорости распространения волны, соответственно, в начале и в конце слоя (по направлению оси x);

H - ширина слоя.

После интегрирования система уравнений (9) принимает вид:

С помощью системы уравнений (11) при заданных параметрах скоростного разреза, начальных значениях параметров лучей x₀, y₀, , времени t₀ и конечной абсциссы луча x_k, соответствующей границе слоя или абсциссе приемника волн, можно вычислить все параметры луча в конечной точке (y_k, ) и время пробега волны от x₀ до x_k(t₀).

При этом необходимо учитывать, что если в каком-либо слое < 90°, то траектория может иметь две ветви (прямую и обратную), если x_k слоя больше

в этом случае траектория возвращается к началу слоя.

Расчет луча ведется с использованием системы уравнений (11) методом итераций. Сначала задается угол выхода луча из источника волны (возможен также счет от приемника к источнику, если в этом случае расчет упрощается), и строится траектория луча до x₀ абсциссы приемника последовательно по каждому слою. При этом в каждом следующем слое начальные параметры луча принимаются равными конечным параметрам луча в предыдущем слое. Достроив луч до оси x₀, сравнивают ординату луча y_k с ординатой приемника y₀. Затем изменяют на величину начального шага таким образом, чтобы уменьшить разность (y_k - y), и снова рассчитывают траекторию луча. После смены знака разности y_k и y₀ уменьшают величину шага изменения , делают шаг в обратную сторону и так до тех пор, пока не будет выполнено условие:

Время пробега волны по вычисленной таким образом траектории для каждого луча вносится в таблицу.